Параллельное соединение сопротивлений

§ 19. ПАРАЛЛЕЛЬНОЕ СОЕДИНЕНИЕ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Параллельно соединенными называются элементы электриче­ской цепи, находящиеся под одним и тем же напряжением.

При параллельном соединении сопротивлений (см. рис. 17) ток будет проходить по четырем направлениям, что уменьшит общее сопротивление или увеличит общую проводимость цепи, которая равна сумме проводимостей отдельных ветвей.

В этом можно легко убедиться, если представить увеличение числа параллельно соединенных проводников как увеличение пло­щади поперечного сечения проводника, по которому протекает ток. Как известно, общее сопротивление обратно пропорционально, а проводимость прямо пропорциональна площади поперечного сече­ния проводника. Таким образом, обозначив проводимость всех про­водников в совокупности буквой g, а проводимость каждого в отдельности проводника g₁, g₂, g₃, и g₄, получим следующее равен­ство:

Так как проводимость есть величина, обратная сопротивлению, то это выражение может быть записано в следующем виде:

В этом выражении r представляет собой общее или эквивалент­ное сопротивление четырех параллельно соединенных проводников, которое меньше любого из четырех заданных.

Докажем полученное соотношение. Обозначив силу тока в не­разветвленной ветви буквой I, силу тока в отдельных ветвях соот­ветственно I₁, I₂, I₃, и I₄ напряжение между точками а и б—U и об­щее сопротивление между этими точками r, на основании закона Ома напишем следующие равенства:

Согласно первому закону Кирхгофа

или

Сократив обе части полученного выражения на U, окончательно получим:

что и требовалось доказать.

 Установленное соотношение справедливо для любого числа па­раллельно соединенных приемников. В частном случае, если в элек­трической цепи содержится два параллельно соединенных приемника с сопротивлениями r₁ и r₂,то можно написать следующее равенство:

Из этого равенства найдем сопротивление r, которым можно за­менить два параллельно соединенных сопротивления:

Полученное выражение имеет большое практическое применение; его можно сформулировать так: сопротивление двух параллельно соединенных приемников энергии равно произведению сопротивле­ний этих приемников,  деленному на сумму тех же сопротивлений.

Если параллельно соединено какое-либо число n приемников с одинаковыми сопротивлениями r, то общее сопротивление такой цепи будет в n раз меньше сопротивления одного проводника, т. е.

Возвращаясь к рис. 17, напишем следующие соотношения:

I₁r₁=U;  I₂r₂=U;  I₃r₃=U; I₄r₄=U;

Так как  правые части  этих  равенств равны между собой, то левые также равны:

Из этих равенств получим следующие соотношения:

Эти соотношения указывают на то, что в цепях с параллельно включенными сопротивлениями токи распределяются обратно про­порционально этим сопротивлениям. Таким образом, чем больше величина включенного параллельно сопротивления, тем меньше сила тока в этом сопротивлении и наоборот. Сопротивление является ве­личиной обратной проводимости, следовательно, в цепях с парал­лельно соединенными проводниками токи распределяются прямо пропорционально проводимости этих проводников.

Если напряжение между узлами не изменяется, то токи в прием­никах энергии, включенных между этими узлами, в отличие от по­следовательного включения их, независимы один от другого. Вы­ключение одного или нескольких приемников из цепи не отражается на работе остальных, оставшихся включенными. Поэтому освети­тельные лампы, электродвигатели и другие приемники электриче­ской энергии преимущественно включают параллельно.

На участке электрической цепи параллельное включение ведет к изменению тока как во всей цепи, так и в рассматриваемом участке.

Так, например, при последовательном включении сопротивлений r₁=10 ом и r₂=30 ом в сеть с напряжением U=120 в сила тока в цепи

Если включить параллельно сопротивлению r₂ сопротивление r₃=60 ом, то изменится сила тока как в неразветвленной цепи, так и в сопротивлении r₂. Со­противление двух параллельных ветвей равно:

Ток в неразветвленной цепи станет равным:

Ток в сопротивлении r₂ станет равным:

Параллельное включение сопротивления на участке электриче­ской цепи на практике используется для уменьшения силы тока в данном участке. В частности, такое параллельно включаемое сопро­тивление, называемое шунтом, применяют для расширения пределов измерения токов амперметрами. При наличии шунта в прибор от­ветвляется лишь часть измеряемого тока. Шунт включают последо­вательно в цель и параллельно шунту подключают амперметр.

Пример 1. Параллельно включено четыре приемника энергии с сопротивле­ниями, соответственно равными 10; 15; 25 и 30 ом. Требуется определить: 1) об­щее сопротивление четырех приемников энергии; 2) силу тока в параллельных вет­вях и в неразветвленной цепи, если приемники энергии включены на зажимах генератора, э. д. с. которого 170 в и внутреннее сопротивление 0,55 ом.

Решение.

Сопротивление четырех параллельных ветвей равно:

откуда r=4,15 ом.

Сопротивление замкнутой цепи

Сила тока в неразветвленной цепи

Напряжение на зажимах генератора

Сила тока в отдельных ветвях

На основании закона Кирхгофа имеем следующее равенство:

I=I₁+I₂+I₃+I₄=15+10+6+5=36 a

Пример 2. Амперметр с внутренним сопротивлением r=0,12 ом предназна­чен для измерения силы тока до I=5 а. Определить сопротивление r₁, которое необходимо включить параллельно амперметру для того, чтобы им можно было измерять силу тока до I₁=35 а.

Решение.  Поскольку  амперметр предназначен для  измерения силы тока до 5 а, то сила тока через шунт

I’=I₁ – I = 35 – 5= 30 a.

Имея в виду, что при параллельном соединении амперметра и шунта токи, протекающие через прибор и шунт, распределяются обратно пропорционально их сопротивлениям, можем записать следующее равенство:

откуда сопротивление шунта