1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЭЛЕКТРОМЕХАНИКИ

• 1.1. Уравнения движения. Электромеханические аналогии.
• 1.2. Электромеханические аналогии. Уравнения Лагранжа- Максвелла.
• 1.3. Энергия электрического и магнитного полей. Силы и моменты, возникающие при электромеханическом преобразовании энергии.
• 1.4. Электромагнитные, электродинамические и электростатические преобразователи.
• 1.4.1. Электромагнитные преобразователи.
• 1.4.2. Электродинамические преобразователи.
• 1.4.3. Электростатические преобразователи.
• 1.5. Классификация электромеханических преобразователей.
• 1.6. Представление электромеханических преобразователей как преобразователей сигналов (информации).
• 1.7. Анализ простейшего электромеханического преобразователя.
• 1.8. Упражнения и контрольные вопросы к главе 1.

---

1.1. Уравнения движения. Электромеханические аналогии

Механическая система обладает энергией. Суммарная энергия механической системы состоит из трех составляющих:

• кинетической энергии для поступательного движения и для вращательного движения;
• потенциальной энергией П;
• мощностью рассеяния (диссипации) D.

Кинетическая энергия - энергия движения системы, потенциальная - энергия, запасаемая упругими элементами, в частности, пружинами. Если пружина работает не растяжение (сжатие), то , где C- жесткость, а h- перемещение. Если пружина работает на скручивание, то , где s- жесткость, а f- угол поворота.

Мощность рассеяния - это обычно энергия, затрачиваемая на преодоление вязкого трения и или в зависимости от формы движения.

При движении системы в ней возникают силы, вызванные изменением энергии системы при изменении ее обобщенных координат h- перемещений или углов поворота ее элементов.

Механическая система, имеющая S степеней свободы, описывается уравнениями Лагранжа второго рода:

, .

Здесь :

• - Даламберовы силы инерции,
• -силы трения,
• - силы упругого противодействия,
• P_s- обобщенные внешние силы (моменты).

Например, для простейшей системы, имеющей одну степень свободы и совершающей вращательное движение, имеем

; ;

; ; ;

Получим одно уравнение

.

Если момент инерции J не зависит от угла поворота f, как это часто бывает, то и уравнение принимает вид:

.

---

1.2. Электромеханические аналогии уравнения Лагранжа-Максвелла

Электромеханическая система обладает не только механической, но и электрической (электромагнитной) энергией, сосредоточенной в элементах ее электрической цепи (индуктивностях, конденсаторах и резисторах).

Поскольку процессы в электрических цепях описываются также дифференциальными уравнениями, существуют определенные аналогии между механическими и электрическими величинами, описывающими поведение системы (см. таблицу).

Механическая система	Электрическая система
	Первая система аналогий	Вторая система аналогий
Перемещение	Заряд	Потокосцепление
Скорость V=h`	Ток I=q`	Напряжение U=Ψ`
Сила P	ЭДС e	Ток i
Масса m	Индуктивность L	Емкость C
Механическое сопротивление r	Сопротивление R	Проводимость G
Жесткость C	Инверсная емкость S=c-1	Инверсная индуктивность Г
Кинетическая энергия	Энергия магнитного поля	Энергия электрического поля
Потенциальная энергия	Энергия электрического поля	Энергия магнитного поля
Мощность рассеяния	Мощность рассеяния	Мощность рассеяния

Первая система аналогий между механическими и электрическими цепями более "физична", поэтому в основном 6удем пользоваться ею, хотя в некоторых случаях применение второй системы дает более простые уравнения.

Из этой системы видно, что ЭДС в электрической цепи аналогична силе, индуктивность аналогична массе и обладает инерционностью, и энергия, запасаемая в магнитном поле, является кинетической энергией. Конденсатор, аналогично пружине, запасает энергию, которую логично считать потенциальной. Активное сопротивление действует аналогично механическому вязкому сопротивлению, и энергия, выделяемая на нем, рассеивается в виде тепла.

Тогда простейшей механической цепи, содержащей массу, пружину и вязкое сопротивление, и описываемой уравнением вида



можно поставить в соответствие простейшую электрическую цепь с последовательно включенными индуктивностью, емкостью и сопротивлением, описываемую уравнением



где L·q``- ЭДС самоиндукции, R·q`- падение напряжения на сопротивлении, S·q- напряжение на емкости.

В электротехнике обычно это уравнение записывается в виде:



Электромеханическую систему, имеющую S_m степеней механической свободы и S₁ независимых электрических контуров, учитывая электромеханические аналогии, можно представить в виде механической системы, имеющей S_m+S₁ степеней свободы и обладающей

• суммарной электромеханической кинетической энергией T_Σ=T_M+W_M;
• потенциальной энергией П_Σ=П_М+W_Э;
• мощностью рассеяния D_Σ=D_M+D_Э.

Отсюда движение в такой системе будет описываться уравнениями, аналогичными уравнениям Лагранжа и называемыми уравнениями Лагранжа-Максвелла :

,





Первые S_m уравнений описывают механические движения в системе (механические уравнения), последующие S₁ уравнений описывают процессы в электрических цепях (электрические уравнения - уравнения 2-го закона Кирхгофа).

---

1.3. Энергия электрического и магнитного полей. Силы и моменты, возникающие при электромеханическом преобразовании энергии

В общем виде энергия электрического поля в объеме V выражается интегралом

,

где E- вектор напряженности электрического поля, D- вектор смещения.

Для однородного поля в конденсаторе



Энергия магнитного ноля в объеме V также выражается интегралом



где B- вектор магнитной индукции, H- вектор напряженности магнитного поля.

Для однородного магнитного поля



Для n магнитно связанных контуров с токами получим:

,

где L_jk- индуктивности и взаимные индуктивности контуров

Или , где Y_j- потокосцепление контуров.

Тогда для одиночного контура с током имеем:

для двух контуров: ;

для контура с током, помещенного в магнитный поток Φ: ,

где L- индуктивность контура, Y- потокосцепление внешнего потока F с контуром.

Рассмотрим гипотетическую электромеханическую систему. в которой механически связаны контур с током, помещенный в магнитное поле, и ротор конденсатора, причем при повороте происходит изменение индуктивности контура, потокосцепления с контуром и емкости конденсатора.

Общая кинетическая энергия такой системы будет:

;

потенциальная

;

рассеяния



Подставляя это выражение в уравнение Лагранжа-Максвелла и принимая за обобщенную координату h- угол поворота f, а также считая, что внешняя сила отсутствует, получим два уравнения - механическое и электрическое





Из первого (механического) уравнения получаем силы (в данном случае - моменты), возникающие при электромеханическом преобразовании энергии :

• - сила (момент), вызванная изменением индуктивности от изменения координаты (угла поворота) - злектромагнитная сила,
• - сила (момент), действующая на проводник (контур) с таком, помещенный в магнитный поток,- магнитоэлектрический момент,
• - сила (момент), вызванная электрическим полем при механическом изменении емкости конденсатора .

Реально в технике применяются преобразователи, в которых действует только одна из перечисленных сил - электромагнитные, магнитоэлектрические, электростатические.

Слагаемые второго, электрического уравнения являются электрическими реакциями системы:

• - противоЭДС, вызванная изменением индуктивности при повороте контура с током (если индуктивность изменяется, что происходит не всегда);
• - ЭДС индукции, вызванная вращением контура в магнитном поле;
• - ЭДС самоиндукции;
• - напряжение конденсатора;
• R·i- падение напряжения на сопротивлении.

Эквивалентная схема электрической цепи такой системы имеет вид на .



Рис. 1-1. Эквивалентная схема гипотетической электромеханической системы

---

1.4. Электромагнитные, электродинамические и электростатические преобразователи.

• 1.4.1. Электромагнитные преобразователи.
• 1.4.2. Электродинамические преобразователи.
• 1.4.3. Электростатические преобразователи.

---

1.4.1. Электромагнитные преобразователи.

В электромагнитном преобразователе усилие создается за счет изменения магнитной энергии, запасенной в катушке индуктивности L при перемещении сердечника. Магнитная и энергия и энергия рассеяния имеют следующий вид:

,

В этих системах , поэтому дифференциальные уравнения имеют вид (при отсутствии внешней силы):

;



Типичным преобразователем такого типа является электромагнитное реле, схема которого приведена на .



Рис. 1-2. Электромагнитное реле.

Реле представляет собой электромагнит с контактами К. При подаче напряжения U на обмотку электромагнита, имеющую индуктивность L и активное сопротивление R создается электромагнитное тяговое усилие , которое притягивает якорь Р, изменяя его положение относительно сердечника 1 (координату hот 0 до d), при этом происходит переключение контактов К.

Из анализа дифференциальных уравнений имеем:

• m·h``- сила инерции,
• r·h`- сила вязкого сопротивления, которой в реле можно пренебречь,
• c·h- сила сопротивления возвратной пружины ВП, имеющей жесткость С,
• - тяговое усилие,
• - ЭДС, вызванная изменением индуктивности при перемещении якоря,
• - ЭДС, вызванная изменением тока,
• R·i- падение напряжения на активном сопротивлении обмотки реле.

Итак, тяговое усилие реле определяется изменением индуктивности L при перемещении якоря. При показанной на конструкции реле (клапанного типа) и малом перемещении якоря можно считать, что

.

Тогда , откуда , где .

При включении репе на постоянное напряжение, как эта обычно бывает, процесс описывается нелинейными дифференциальными уравнениями:



, где

Тогда так называемые тяговые характеристики реле имеют вид на .



Рис. 1-3а. Механические характеристики электромагнитного реле

Характеристики вход-выход имеют скачкообразный характер ().



Рис. 1-3б. Характеристики "вход-выход" электромагнитного реле.

Переходный процесс при включении реле показан на .



Рис. 1-4. Переходный процесс при включении реле.

Модель электромагнитного реле приведена в  .

---

1.4.2. Электродинамические преобразователи.

В магнитоэлектрической (электродинамической) системе усилие создается за счет изменения второй составляющей магнитной энергии Y(h)×i. То есть уравнения имеют следующий вид:

;



Электродинамический принцип преобразования энергии используется в электроизмерительных приборах, содержащих постоянный магнит, двигателях постоянного тока, тахогенераторах постоянного тока. В этих устройствах обобщенной характеристикой является угол поворота ротора f и уравнения имеют вид:

;



Обычно обозначают угловую частоту вращения , тогда

;



Здесь

• - момент сопротивления, вызванный механической инерционностью системы (I - момент инерции системы),
• ρ·ω- момент вязкого сопротивления,
• σ·f- момент упругого сопротивления,
• - вращающий момент,
• M_c- статический момент сопротивления,
• - ЭДС индукции (вращения),
• - ЭДС самоиндукции,
• R·i- падение напряжения на активном сопротивлении.

При применении преобразователя как исполнительного устройства (измерительного прибора) используется факт возникновения магнитоэлектрического вращающего момента, пропорционального току в цепи ротора. При применении его как датчика скорости используется возникновение в цепи ЭДС индукции, пропорциональной частоте вращения ротора. В этом случае электрическое уравнение преобразователя имеет вид :



И в установившемся режиме, когда , имеем .

В частности, при повороте в магнитном поле с индукцией B рамки длиной 1 и радиусом r имеем dΨ=r·ω·B·1·r·df, откуда .

Основным достоинством электродинамических систем является линейность их характеристик.

---


1.4.3. Электростатические преобразователи.

В электростатических системах используется энергия электрического поля, запасенная в конденсаторе

;



В этом случае дифференциальные уравнения таковы:

;



Здесь - тяговое усилие, S×q- напряжение на конденсаторе .

Эти уравнения имеют меньше слагаемых, чем уравнения индукционных систем, поэтому электростатические преобразователи обладают меньшими возможностями и получили меньшее распространение.

Исполнительные устройства электростатического типа очень маломощны, так как электрическое поле в единице объема может сконцентрировать гораздо меньше энергии, чем магнитное. Поэтому тяговое усилие сравнительно небольшое. Исполнительные устройства такого типа применяются в основном как измерительные и индикаторные.

Возможности электростатического преобразователя как датчика, как видно из электрического уравнения, также ограничены, так как он не может индуцировать ЭДС и является, по существу, пассивным емкостным датчиком с уравнением вида:



Обозначив U_c- напряжение на конденсаторе, получим :







Пассивный емкостной преобразователь переменного тока.

---

1.5. Классификация электромеханических преобразователей

Электромеханические преобразователи, применяемые в системах автоматики и вычислительной технике, можно классифицировать по назначению, конструктивному исполнению и принципу действия (см. ).

Рис. 1-5. Классификация электромеханических преобразователей.

---

1.6. Представление электромеханических преобразователей как преобразователей сигналов (информации)

При применении электромеханических преобразователей в системах автоматического управления они рассматриваются не как энергетические устройства, а как информационные преобразователи сигналов при их прохождении от входов к выходам (см. ).



Рис. 1-6а. Функциональная схема динамической системы.

Если электромеханический преобразователь описывается исходными линейными или линеаризованными дифференциальными уравнениями, то от них можно перейти к дифференциальным уравнениям "вход-выход" вида



где y(t) и u(t) - векторы выходных и входных координат

; - полиномиальные матрицы,

- оператор дифференцирования по времени.

Перейти от исходных энергетических уравнений к уравнениям "вход-выход" удобно, используя структурные схемы и передаточные функции. Типичная структурная схема имеет вид, представленный на , где W(p) - передаточные функции, а u(p), y(p), i(p) - изображения входных, выходных и внутренних переменных (p=c+j·ω).



Рис. 1-6б. Структурная схема динамической системы.

Уравнение "вход-выход" получим в виде:

,

где

Структурная схема тесно связана с физикой работы преобразователя и поэтому легко может быть составлена по исходным энергетическим уравнениям, а уравнения "вход-выход" представляют более абстрактную модель системы.

Можно перейти к еще более абстрактной модели - уравнениям состояния, когда система представляется стандартной структурой в виде автомата с памятью ().



Рис. 1-7а. Структурная схема динамической системы в виде непрерывного автомата.

;

,

где x- вектор состояния, A- матрица коэффициентов, B- матрица управления, C- матрица выхода, D - матрица обхода.

В этой структуре переменные состояния часто не являются физическими величинами, которые могут быть измерены в реальной системе.

Для моделирования электромеханической системы на ЭВМ или при управлении ею от ЭВМ удобно эту систему представить как дискретную по времени (импульсную), в которой ее переменные наблюдаются (вычисляются) через дискретные промежутки времени Т. При выборе Т достаточно малом по сравнению с инерционностью системы, дискретная модель достаточно точно описывает непрерывную систему.

Для анализа дискретной модели вводится аппарат дискретного преобразования Лапласа и дискретные передаточные функции D(Z), где Z- оператор запаздывания на интервал Т .

При достаточно малом Т можно принять .

Имея передаточную функцию системы W(P), заменой получим D(Z) в виде

,

где Z^-1- запаздывание на один такт (время Т). Этой функции соответствует разностное уравнение "вход-выход"



Этой модели соответствует дискретный рекурсивный фильтр вида , где А и В -полиномиальные матрицы, а Т - матрица задержек тактов.



Рис. 1-7б. Структурная схема динамической системы в виде дискретного автомата.

По схеме рекурсивного фильтра может быть восстановлен алгоритм вычисления выходной величины y(n) в данном такте, зная y(n-i) в предыдущие такты, и значения входного воздействия u(n) в данный такт и u(n-i) в предыдущие такты - прямое программирование. Применяются также последовательное и параллельное программирование, когда D(Z) представляется в виде произведения или суммы более простых функций.

От разностных уравнений "вход-выход" можно перейти к уравнениям пространства состояний и представить систему в виде дискретного автомата с памятью в виде .

;

где x[n] - состояние в данный такт, x[n+1] - состояние в следующий такт.

Удобной моделью для анализа динамической системы является частотная характеристика



которая обычно представляется в виде двух характеристик, амплитудной A(ω) и фазовой f(ω).

---

1.7. Анализ простейшего электромеханического преобразователя.

Рассмотрим простейший магнитоэлектрический преобразователь, имеющий одну степень механической н электрической свободы, в качестве которого может быть приведен линейный исполнительный двигатель, применяемый в системе позиционирования в накопителях на жестких дисках СМ-ЭВМ.

Его динамика описывается двумя уравнениями:





Модель такого преобразователя приведена на  и .

Обозначив и , получим эти уравнения в операторной форме:





Перейдя к изображениям, получим следующие уравнения:





По этим уравнениям можно получить структурную схему согласно , по которой можно получить передаточную функцию



где ; ;



Рис. 1-8. Структурная схема электромеханического преобразователя.

Перейдя обратно во временную область, можно получить уравнение "вход-выход"

, где

Для перехода к уравнениям состояния представим уравнение вход-выход в скобочной форме



Введем новые координаты, соответствующие перемещенным в квадратных скобках и получим дифференциально-алгебраическую систему (слева) и ее преобразованную форму (справа)

Этим уравнениям соответствует структура, показанная на .

Рис. 1-9. Структурная схема преобразователя в пространстве состояния.

При переходе к уравнениям состояния получим x`=A·x+B·u; h=C·x+D·u,

где u=U; ; ; ; ; D=0.

При достаточно малом периоде квантования Т по сравнению с инерционностью системы ее можно представить как дискретную (по времени) с дискретной передаточной функцией



Произведя необходимые преобразования, получим



где ; ; B₁=B₂=3·B₀; B₃=B₀.

Обозначим h`=h·K₀^-1.Тогда из выражения получим разностное уравнение "вход-выход":



Этому уравнению соответствует структура рекурсивного фильтра, представленная на .



Рис. 1-10а. Структурная схема преобразователя в виде рекурсивного фильтра.

Используя, например, прямое программирование, можно моделировать систему на ЭВМ, вычисляя значения выходной величины h(n) по шагам. Скажем, переходную функцию при ступенчатом воздействии

U(n)=U при n>0 (см. )



Рис. 1-10б. Выход преобразователя при ступенчатом воздействии.









и.т.д.

От разностного уравнения вход-выход можно перейти к уравнениям состояния и представить систему в виде дискретного автомата с памятью

;

• X(n) - вектор состояния автомата в данный дискретный момент времени,
• X(n+1) - вектор состояния в следующий наблюдаемый момент через промежуток времени Т,
• B- матрица входного преобразования,
• A- матрица, реализующая функцию переходов,
• C- матрица, соответствующая функции выходов.

Частотная характеристика системы



В этом случае, если характеристическое уравнение имеет вещественные отрицательные корни, получим



где T₁·T₂·T₃=a₀; T₁·T₂+T₁·T₃+T₂·T₃=a₁; T₁+T₂+T₃=a₂, а корни α₁=-T₁^-1; α₂=-T₂^-1; α₃=-T₃^-1.

Тогда амплитудная частотная характеристика будет (см.)





Рис. 1-11. Частотная характеристика электромеханического преобразователя.

---

1.8. Упражнения и контрольные вопросы к главе 1.

1. Перечислите основные механические аналогии, дополнив колонки 1 и 2 таблицы 1-1 размерностями представленных в них физических величин.
2. Выведите уравнения динамики простейших механической и электромеханической систем из уравнений Лагранжа-Максвелла. Нарисуйте схемы, соответствующие этим уравнениям.
3. Перечислите основные типы электромеханических преобразователей и приведите примеры этих преобразователей.
4. Выведите передаточную функцию и нарисуйте структурную схему линейного двигателя без пружины и без трения.
5. По полученной в п.4 передаточной функции выведите выражение для частотной характеристики двигателя и постройте ее, задавшись численными значениями параметров двигателя (например, Тэ=10 мс, m=50 г, Кэм=0,05 Вс).